周波数伝達関数とゲイン

投稿日: 2021年1月15日作成者: a-udoh

自動制御の分野の中でも、周波数伝達関数やゲインを求める問題は理論の電気回路の考え方を理解していれば比較的得点しやすいので、ぜひマスターしておくようにしましょう。

1. 周波数伝達関数とは

周波数伝達関数 $\displaystyle G \left( j \omega \right)$ は出力信号 $\displaystyle E_o \left( j \omega \right)$ と入力信号 $\displaystyle E_i \left( j \omega \right)$ の比を求めたものです。
$\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{E_o \left( j \omega \right)}{E_i \left( j \omega \right)}$

（1）R-C回路
次の回路の周波数伝達関数 $\displaystyle G \left( j \omega \right)$ を求めます。

入力信号 $\displaystyle E_i \left( j \omega \right)$ は抵抗の電圧とコンデンサの電圧の和となるので、電流を $\displaystyle I \left( j \omega \right)$ とすると、
$\displaystyle E_i \left( j \omega \right) = RI \left( j \omega \right) + \frac{1}{j \omega C} I \left( j \omega \right)$

出力信号 $\displaystyle E_o \left( j \omega \right)$ はコンデンサの電圧となるので、
$\displaystyle E_o \left( j \omega \right) = \frac{1}{j \omega C} I \left( j \omega \right)$

よって、周波数伝達関数 $\displaystyle G \left( j \omega \right)$ は、
$\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{E_o \left( j \omega \right)}{E_i \left( j \omega \right)} = \frac{\frac{1}{j \omega C} I \left( j \omega \right)}{RI \left( j \omega \right) + \frac{1}{j \omega C} I \left( j \omega \right)} \\ = \frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{1+j \omega CR}$

ここで、 $\displaystyle CR$ はこの回路の時定数なので $\displaystyle CR = T$ とすると、
$\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{1}{1+j \omega T}$

（2）L-R回路
次の回路の周波数伝達関数 $\displaystyle G \left( j \omega \right)$ を求めます。

入力信号 $\displaystyle E_i \left( j \omega \right)$ はコイルの電圧と抵抗の電圧の和となるので、
$\displaystyle E_i \left( j \omega \right) = j \omega LI \left( j \omega \right)+ RI \left( j \omega \right)$

出力信号 $\displaystyle E_o \left( j \omega \right)$ は抵抗の電圧となるので、
$\displaystyle E_o \left( j \omega \right) = RI \left( j \omega \right)$

よって、周波数伝達関数 $\displaystyle G \left( j \omega \right)$ は、
$\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{E_o \left( j \omega \right)}{E_i \left( j \omega \right)} = \frac{RI \left( j \omega \right)}{RI \left( j \omega \right) + j \omega LI \left( j \omega \right)} \\ = \frac{R}{R + j \omega L} = \frac{1}{1+j \omega \frac{L}{R}}$

ここで、 $\displaystyle \frac{L}{R}$ はこの回路の時定数なので $\displaystyle \frac{L}{R} = T$ とすると、
$\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{1}{1+j \omega T}$

（1）R-C回路、（2）L-R回路の周波数伝達関数が同じ形となりました。
このことから、この2つの回路は同じ特性を持つことがわかります。

2. ゲインとは

ゲインは利得ともいい、周波数伝達関数の絶対値 $\displaystyle \left|G \left( j \omega \right) \right|$ です。
周波数伝達関数が $\displaystyle G \left( j \omega \right) = \frac{1}{1+j \omega T}$ のときの絶対値 $\displaystyle \left|G \left( j \omega \right) \right|$ は、
$\displaystyle \left| G \left( j \omega \right) \right| = \left| \frac{1}{1+j \omega T} \right| = \frac{1}{\sqrt{1+ \left( \omega T \right)^2}}$

ゲインはデシベルで表されることが多くあります。
これはゲインの常用対数をとり、20倍して求めます。
$\displaystyle G \left( j \omega \right)$ のデシベル表示のゲイン $\displaystyle g$ 〔dB〕を求めると、
$\displaystyle g = 20 \log_{10} \left| G \left( j \omega \right) \right| = 20 \log_{10} \frac{1}{\sqrt{1+ \left( \omega T \right)^2}} \\ = 20 \log_{10} \{ 1+ \left( \omega T \right)^2 \}^{-\frac{1}{2}} \\ = 20 \times \left( -\frac{1}{2} \right) \log_{10} \{ 1+ \left( \omega T \right)^2 \}$
$= -10 \log_{10} \{ 1+ \left( \omega T \right)^2 \}$ 〔dB〕

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