ブロック線図と周波数伝達関数

ブロック線図と周波数伝達関数

ブロック線図の問題は、自動制御の分野で比較的よく出題されています。
ブロック線図から周波数伝達関数を求められるよう、基本的な記号の意味や、式への表し方を理解しておくようにしましょう。
なお、ここでは各変数につける\displaystyle \left( j \omega \right)は省略しています。

1. ブロック線図の記号

自動制御系は、次の3つの記号で表します。

(1)要素のブロック
要素のブロック
\displaystyle X \cdot G = Yより、\displaystyle \frac{Y}{X} = G

(2)加え合わせ点
加え合わせ点
\displaystyle Aが+、\displaystyle Bが-で合わさった結果が\displaystyle Cとなることから、
\displaystyle C =A-B

(3)引き出し点
引き出し点
\displaystyle Aという信号を2つに分岐して取り出します。

2. ブロック線図の等価変換

複数の要素を等価変換し、ひとつの要素にすることで、ブロック線図はシンプルに表すことができます。
様々な等価変換がありますが、そのうち次の3つは頻出ですので、必ず覚えておくようにしましょう。

(1)直列結合
直列結合
直列結合は積で表します。
\displaystyle X \cdot G_1 \cdot G_2 = Yより、\displaystyle \frac{Y}{X} = G_1G_2

(2)並列結合
並列結合
並列結合は和で表します。
\displaystyle X \cdot G_1 + X \cdot G_2 = Yより、\displaystyle \frac{Y}{X} = G_1+G_2

(3)フィードバック結合
フィードバック結合
各箇所の信号を上図のように考えると、\displaystyle \left( X-YH \right)\displaystyle G倍したものが\displaystyle Yとなるので、
\displaystyle \left( X-YH \right) \cdot G = Y \\  GX-GYH=Y \\  GX=Y \left( 1+GH \right) \vspace{2mm} \\  \frac{Y}{X} = \frac{G}{1+GH}

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