誘導電動機のトルクが電圧の2乗に比例する理由

投稿日: 2022年6月24日作成者: a-udoh

【質問】
誘導電動機のトルクが電圧の2乗に比例するのはなぜですか？

二次入力を $\displaystyle P_2$ 〔W〕、同期角速度を $\displaystyle \omega_{\rm s}$ 〔rad/s〕、トルクを $\displaystyle T$ 〔N・m〕としたとき、
$\displaystyle P_2 = \omega_{\rm s} T$
という式が成り立つことから、トルク $\displaystyle T$ は、
$\displaystyle T = \frac{P_2}{\omega_{\rm s}}$ 〔N・m〕
と表されます。

ここで、同期角速度 $\displaystyle \omega_{\rm s}$ は、同期回転速度を $\displaystyle N_{\rm s}$ 〔min^-1〕とすると、
$\displaystyle \omega_{\rm s} = 2 \pi \frac{N_{\rm s}}{60}$ 〔rad/s〕
です。

次に、二次入力 $\displaystyle P_2$ 〔W〕について考えます。下図は、滑り $\displaystyle s$ で運転中の三相誘導電動機における二次側一相分の等価回路です。

この回路図より、二次電流 $\displaystyle I_2$ 〔A〕は次の式で表されます。
$\displaystyle I_2 = \frac{E_2}{\displaystyle \sqrt{\left( r_2 + \frac{1-s}{s} r_2 \right) ^2 + {x_2}^2}} = \frac{E_2}{\displaystyle \sqrt{\left( \frac{r_2}{s} \right)^2 + {x_2}^2}}$ 〔A〕

二次入力 $\displaystyle P_2 = 3{I_2}^2 \times \frac{r_2}{s}$ 〔W〕ですので、
$\displaystyle P_2 = 3 \times \frac{{E_2}^2}{\displaystyle \left( \frac{r_2}{s} \right)^2 + {x_2}^2} \times \frac{r_2}{s} = \frac{3r_2{E_2}^2}{\displaystyle \frac{{r_2}^2}{s} + s{x_2}^2}$ 〔W〕

以上よりトルク $\displaystyle T$ は、
$\displaystyle T = \frac{P_2}{\omega_{\rm s}} = \frac{\displaystyle \frac{3r_2{E_2}^2}{\displaystyle \frac{{r_2}^2}{s} + s{x_2}^2}}{\displaystyle 2 \pi \frac{N_{\rm s}}{60}} = \frac{3r_2{E_2}^2}{\displaystyle \frac{{r_2}^2}{s} + s{x_2}^2} \cdot \frac{60}{2 \pi N_{\rm s}}$
$\displaystyle = \frac{90}{\pi N_{\rm s}} \cdot \frac{r_2}{\displaystyle \frac{{r_2}^2}{s} + s{x_2}^2} \cdot {E_2}^2$ 〔N・m〕

よって、誘導電動機のトルクは電圧の2乗に比例することがわかります。

説明をすると上記のような計算になりますが、試験中にこれらの計算をすることは大変です。
「トルクは電圧の2乗に比例する」と覚えておく方が良いでしょう。

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