・共振の条件

・共振の条件

共振には、直列共振と並列共振があり、電験三種の理論における交流回路でたびたび出題されています。
共振が起こる条件と共振周波数の公式は覚えておくようにしましょう。

1. 直列共振

図1(a)のような抵抗-コイル-コンデンサの直列回路について考えます。
\displaystyle X_L = X_Cのとき、この回路全体のインピーダンスは\displaystyle R〔Ω〕になります。
よって、回路を流れる電流\displaystyle \dot{I}〔A〕は無効分がなく、有効分のみとなります。

2. 並列共振

図2(a)のような抵抗-コイル-コンデンサの並列回路について考えます。
\displaystyle X_L = X_Cのとき、コイル電流\displaystyle \dot{I_L}とコンデンサ電流\displaystyle \dot{I_C}の大きさが等しくなるため、\displaystyle \dot{I_L} + \dot{I_C} = 0〔A〕です。
回路を流れる電流を\displaystyle \dot{I}〔A〕とすると、

\displaystyle \dot{I} = \dot{I_R} + \dot{I_L} + \dot{I_C} = \dot{I_R}

よって、直列共振と同様に無効分がなく、有効分のみとなります。

3. 共振の条件

共振が起こる条件は、直列共振、並列共振ともに、
「コイルのリアクタンス\displaystyle X_L=コンデンサのリアクタンス\displaystyle X_C」です。
\displaystyle \omegaを角周波数、\displaystyle fを周波数、\displaystyle Lをコイルのインダクタンス、\displaystyle Cをコンデンサの静電容量とすると、

\displaystyle X_L = \omega L = 2 \pi fL〔Ω〕
\displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi fC}〔Ω〕

\displaystyle X_L = X_Cのときの周波数を\displaystyle f_0とすると、

\displaystyle 2 \pi f_0 L = \frac{1}{2 \pi f_0 C}
\displaystyle{f_0}^2 = \frac{1}{\left(2 \pi \right)^2 LC}
\displaystyle f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}

この周波数\displaystyle f_0を共振周波数と言います。

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