〔数学001〕指数とは?

〔数学001〕指数とは?

(1)指数とは

ある数を何回かかけ合わせた時、そのかけ合わせた回数のことを指数といいます。
例えば、10を3回かけると1000になります。 10\times10\times10=1000…①
この場合、指数は3で指数を使って計算式を書くと、10^3=1000 …②となります。
①と②は同じことを表しています。
指数はかけ合わせる数字の右肩に小さく書き、乗(じょう)と読みます。10の3乗は1,000。
例えば
2\times2\times2\times2\times2=32は、2^5=32と書けばよいわけです。2の5乗は32。

a^nan乗)an回かけるということで、このような表し方を累乗といい、nを指数、aを底(てい)と呼びます。

電験三種で扱う数字には、とても大きな数字やとても小さな数字が出てきます。
例えば、光速は300,000,000〔m/s〕(3億メートル毎秒)ですがこれは、 3\times10^8〔m/s〕と書けば良いですし、電子1個の電荷量は0.00000000000000000016〔C〕ですが、これを 1.6\times10^{-19}と書けば良いのです。( 10^8の8、10^{-19}の19はそれぞれ0の数です。)

つまり、非常に大きい数や小さい数も指数を使って書き表せば、計算の次の指数法則を使うことで簡単に計算することができ、計算ミスを防ぐこともできます。

(2)指数法則

次のような指数の計算法(指数法則)があります。
{a^m}\times{a^n}=a^{m+n}
({a^m})^n=a^{m\times n}
({a\times b})^n={a^n}\times{b^n}
{a^m}+{a^n}= \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}
 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}
 \displaystyle \frac{1}{a^n}=a^{-n}  \displaystyle \frac{1}{a^{-n}}=a^n
a^0=1
 \displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}  \displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}

例えば、
{2^3}\times{2^4}={(2\times2\times2)}\times{(2\times2\times2\times2)}=2^{3+4}=2^7=128
{(2^2)}^3={2^2}\times{2^2}\times{2^2}=2^{2+2+2}=2^{2\times3}=2^6=64
{(2\times3)}^4={(2\times3)}\times{(2\times3)} \times{(2\times3)} \times{(2\times3)} ={2^4}\times{3^4}=16\times81=1 296
 \displaystyle \frac{2^3}{2^5}=\frac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2\times2}=2\times2=2^2=2^{5-3}=4
\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{3^2}{2^2} →   \displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^2= 1.5^2=1.5\times1.5=2.25,   \displaystyle \frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}=2.25
 \displaystyle \frac {1}{1000}=\frac{1}{10^3}=0.001  \displaystyle \frac {1}{0.001}=\frac{1}{10^{-3}}=10^3=1000
{2^3}\div{2^3}=2^{3-3}=2^0=1 1000\div1000={10^3}\div{10^3}=10^{3-3}=10^0=1

ただし、指数法則③は、(  )の中が足し算のときは、(a+b)^n{a^n}+{b^n}ではありません。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2となります。
ちなみに (a+b)^2=(b+a)^2(a-b)^2=(b-a)^2です。

{(3+5)}^2={(5+3)}^2=8^2=64
 {(3-5)}^2={(-2)}^2=4 , {(5-3)}^2=2^2=4
※電験三種の計算問題で使うことが多い「指数」は一見難しいそうですが、指数法則を使った計算の仕方を覚えれば、電気の計算が楽になります。
次回は、計算問題に欠かせない単位を合わせるということと、実際の指数を使う計算問題についてみていきましょう。

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