〔数学002〕単位の換算と指数を使う計算

〔数学002〕単位の換算と指数を使う計算

(1)指数を使って単位をそろえてみよう

次のような問題を計算してみましょう。
「5〔MΩ〕の抵抗にRに10〔kV〕の電圧Vを加えたときに流れる電流Iは何〔mA〕か。」
このような場合は単に数字だけを計算して
\displaystyle I=\frac{V}{R}=\frac{10}{5}=2 〔A〕では間違えです。
M(メガ)は、1,000,000( 106 倍 )、k(キロ)は1,000( 10³ 倍 )、m(ミリ)は、0.001( 10-3 倍 )を表すので、上式は
\displaystyle I=\frac{V}{R}=\frac{10\times{10^3}}{5\times{10^6}}=2\times10^{-3}=2〔mA〕となります。

(2)接頭語と単位の換算

上の問題で、抵抗の単位〔Ω〕の前にある「M」、電圧の単位〔V〕の前にある「k」電流の単位〔A〕の前にある「m」のことを接頭語と呼び、10の何倍かを表します。電験三種でよく使う接頭語について、その記号と名称及び何倍を表すかは以下の通りです。倍数を表すのに指数を使います。

少し注意する必要があるのは、例えば面積の単位換算では、
1〔cm〕(センチメートル)= 10-2〔m〕なので、
1〔cm²〕(平方センチメートル)= 10-2〔m〕× 10-2〔m〕= 10-4〔m²〕(平方メートル)
1〔km〕(キロメートル)= 10³〔m〕(メートル)なので、
1〔km²〕(平方キロメートル)= 10³〔m〕× 10³〔m〕= 106 〔m²〕(平方メートル)

指数を使い、単位を合わせて計算するということはとても大切です。
しっかり練習しましょう。

(3)指数を使って計算してみよう

電験三種の計算問題で、指数が多く出てくる少し複雑な問題について考えてみましょう。
平行板コンデンサの静電容量C〔F〕は \displaystyle C={\frac{\epsilon_{0}\epsilon_{s}S}{d}}〔F〕で求められます。
この公式の意味まではここではふれません。
「真空中の誘電率 \epsilon_{0}=8.854\times10^{-12}〔F/m〕、誘電体の比誘電率 、電極板面積 S=4 000〔cm2〕、極板間距離 d=2〔cm〕のとき静電容量C〔F〕の値を求めよ。」
といった問題の計算をするとき、公式に与えられた数値を代入し、指数法則を用いて計算すると、
\displaystyle C={\frac{\epsilon_{0}\epsilon_{s}S}{d}}={\frac{8.854\times10^{-12}\times4\times4000\times10^{-4}}{2\times10^{-2}}}\displaystyle ={\frac{8.854\times4\times4}{2}}\times{\frac{10^{-12}\times10^{3}\times10^{-4}}{10^{-2}}}
\displaystyle \fallingdotseq 70.8\times 10^{-12+3(-4)-(-2)}=70.8\times10^{-11}=708\times10^{-1}=708\times10^{-12}〔F〕 \displaystyle \fallingdotseq 700〔pF〕

指数の計算のポイントは整数の部分と指数の部分に分けて計算するのがポイントです。

整数の部分は電卓の桁数を超えないようにして、指数の部分は指数法則を使い計算していけばよいのです。

指数を使って単位を合わせて計算することにより、非常に大きい数や小さい数同士の計算が簡単になり間違えが少なくなります。

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