〔数学003〕√ (平方根) の計算

〔数学003〕√ (平方根) の計算

(1)平方根とは

2乗(平方)するとAになる数をAの平方根といいます。
3×3=9なので3は9の平方根です。次のように表します。
\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3
\sqrt{a}の√の記号を根号といい、ルートと読みます。
電験三種の計算問題では、三平方の定理や、交流の最大値、線間電圧を求めるときなど、平方根(ルート)はよく使います。

(2)平方根の計算公式

\sqrt{A^2}=A
{(\sqrt{A})}^2={\sqrt{A^2}}\times{\sqrt{A^2}}=A √(ルート)の中は数字や文字の場合もあれば式の場合もあります。
\sqrt{A}の2乗は {(\sqrt{A})}^2は√が外れるだけです。 {(\sqrt{4})}^2=4   {(\sqrt{a+b})}^2=a+b
{\sqrt{a}}\times{\sqrt{b}}=\sqrt{a\times b}    \displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}
√同士のかけ算、わり算は一つの√にまとめられます。
\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b} √の中に2乗したものがあれば外に出せます。
\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{{3^2}\times2}=3\sqrt{2}
m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}√の中が同じであれば、一つの文字と同じように扱えます。
2\sqrt{a}+3\sqrt{a}=5\sqrt{a}  3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}

(3)分母の有理化

 \displaystyle \frac{B}{\sqrt{A}}のように、分母に√(根号)があるとき、分母分子に同じものをかけて分母に√を含まない式にすることを分母の有理化するといいます。
\displaystyle\frac{B}{\sqrt{A}}={\frac{B}{\sqrt{A}}}\times{\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{A}}}=\frac{B\sqrt{A}}{A}    \displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}}={\frac{1}{\sqrt{a}}}\times{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}}=\frac{\sqrt{a}}{a}   \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}={\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}}\times{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5\times3}}{3\times3}}=\frac{\sqrt{15}}{9}   \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}={\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\times{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2}-{(\sqrt{2})}^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}

(4)平方根と指数

 \sqrt{a}を指数を使って表すと、  a^{\frac{1}{2}}になります。  \sqrt{a}= a^{\frac{1}{2}}
これは、指数法則により {(a^m)}^n=a^{m\times n}です。ここで、  a=2    \displaystyle m=\frac{1}{2}  n=2とすると、
 \displaystyle {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^2=2^{{\frac{1}{2}}\times2}=2^1=2したがって、 2^{\frac{1}{2}}は2乗すると2になる数です。
2乗して2になるのは、 \sqrt{2}です。

\sqrt{a}は、平方根a、或いは2乗根aともいいます。 \sqrt[n]{a}n乗根a)のnが2ということですが、 \sqrt[2]{a}の場合は2を省略して \sqrt{a}と書き、ルートaと読みます。

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