〔数学004〕”分数の計算”で大事なこと

〔数学004〕”分数の計算”で大事なこと

電験3種の計算問題のほとんどが、分数の計算になります。
分数の計算を基本から確認しておきましょう。

1、分数は割り算です(分子÷分母)。\displaystyle {\frac{2}{5}} は、2÷5という意味で、2が分子、5が分母です。
\displaystyle {\frac{2}{5}}=2\div5=0.4 また、\displaystyle {\frac{2}{5}} は、2/5 と書く場合も多いです。2/5=0.4

2、分数の分母・分子に同じ数を掛けても、また同じ数で割ってもその値は変わらない。
\displaystyle {\frac{2}{5}}={\frac{2\times2}{5\times2}}={\frac{4}{10}} , \displaystyle {\frac{4}{10}}={\frac{4\div2}{10\div2}}={\frac{2}{5}}
\displaystyle {\frac{4}{10}}={\frac{2}{5}} と、分母・分子をそれ以上同じ数では割れない小さな値にすることを約分するといい、分数の答えは、約分した値にする。 \displaystyle {\frac{3}{15}}={\frac{1}{5}} , \displaystyle {\frac{96}{108}}={\frac{8}{9}}(分母・分子÷12)

3、分数の加減は、分母を共通の値にそろえて(通分という)、分子のみ加減をする。
\displaystyle {\frac{1}{2}}+{\frac{1}{3}}={\frac{1\times3}{2\times3}}+{\frac{1\times2}{3\times2}}={\frac{3}{6}}+{\frac{2}{6}}={\frac{3+2}{6}}={\frac{5}{6}}  (\displaystyle {\frac{1}{2}}+{\frac{1}{3}}={\frac{1+1}{2+3}}={\frac{2}{5}} とはしないこと)
\displaystyle {\frac{1}{12}}-{\frac{3}{4}}={\frac{1}{12}}-{\frac{9}{12}}={\frac{1-9}{12}}=-{\frac{8}{12}}=-{\frac{2}{3}}

4、分数の掛け算は、分子どうし、分母どうしを掛ければよい。
\displaystyle {\frac{3}{4}}\times{\frac{1}{12}}={\frac{3\times1}{4\times12}}={\frac{1\times1}{4\times4}}={\frac{1}{16}} (\displaystyle {\frac{3}{12}}={\frac{1}{4}}) , \displaystyle {\frac{25}{32}}\times{\frac{16}{100}}={\frac{16\times25}{32\times100}}={\frac{1\times1}{2\times4}}={\frac{1}{8}}=0.125

5、分数の割り算は、割る数の逆数を掛ける。(逆数とは分数の分母と分子を入れ替えた数のこと)
\displaystyle {\frac{1}{2}}\div3={\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{3}}={\frac{1}{6}} (3は、\displaystyle {\frac{3}{1}} と同じ。3÷1=3 なので分母の1は省略する。)
\displaystyle {\frac{1}{2}}\div{\frac{1}{3}}={\frac{1}{2}}\times3={\frac{3}{2}}={\frac{2}{2}}+{\frac{1}{2}}=1{\frac{1}{2}}=1.5

6、帯分数(\displaystyle 1{\frac{1}{2}} や、\displaystyle 2{\frac{1}{3}} のような分数)の計算は、整数の部分を分数にしてから計算する。
\displaystyle 1{\frac{1}{2}}=1+{\frac{1}{2}}={\frac{2}{2}}+{\frac{1}{2}}={\frac{2+1}{2}}={\frac{3}{2}} , \displaystyle 2{\frac{1}{3}}=2+{\frac{1}{3}}={\frac{6}{3}}+{\frac{1}{3}}={\frac{7}{3}}
\displaystyle 2{\frac{1}{3}}+{\frac{3}{4}}={\frac{7}{3}}+{\frac{3}{4}}={\frac{23}{12}}+{\frac{9}{12}}={\frac{37}{12}}=3{\frac{1}{12}}
\displaystyle 2{\frac{1}{3}}\times{\frac{3}{4}}={\frac{7}{3}}\times{\frac{3}{4}}={\frac{7}{4}}=1{\frac{3}{4}}

7、繁分数の計算は、分母や分子にある分数の計算を先にする。
  繁分数とは、分数の分母や分子がさらに分数になっているものをいいます。
\displaystyle {\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\frac{2}{{\displaystyle \frac{3}{15}}+{\displaystyle \frac{5}{15}}}}={\frac{2}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}}=2\div{\frac{8}{15}}=2\times{\frac{15}{8}}={\frac{15}{4}}=3{\frac{3}{4}}=3.75

8、次の分数の計算をしてみましょう。
 ① \displaystyle 1{\frac{1}{2}}\div(-{\frac{2}{3}})+{\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{2}}-{\frac{1}{3}}\div(-{\frac{2}{3}})=  ,   ② \displaystyle {\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{1+1{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}{2+{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}}=
 
いかがでしょうか。だんだんとややこしくなってきましたが、要は上の1~7までの積み上げです。(電験3種に必要な、高校入試レベルの問題です。)
答えは以下のとおりです。
① \displaystyle 1{\frac{1}{2}}\div(-{\frac{2}{3}})+{\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{2}}-{\frac{1}{3}}\div(-{\frac{2}{3}})\displaystyle ={\frac{3}{2}}\times(-{\frac{3}{2}})+{\frac{3}{4}}+{\frac{1}{3}}\times{\frac{3}{2}}=-{\frac{9}{4}}+{\frac{3}{4}}+{\frac{1}{2}}\displaystyle ={\frac{-9+3+2}{4}}=-{\frac{4}{4}}=-1
② \displaystyle {\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{1+1{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}{2+{\displaystyle \frac{1-1{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{3}}}}}}={\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}}}}{2+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}}}={\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}}{2+{\displaystyle \frac{2}{3}}\times{\displaystyle \frac{3}{4}}}}={\frac{1+{\displaystyle \frac{3}{7}}}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\frac{{\displaystyle \frac{10}{7}}}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}}={\frac{10}{7}}\times{\frac{2}{5}}={\frac{4}{7}}

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