〔数学008〕最小の定理について

〔数学008〕最小の定理について

【最小の定理とは?】

「2 つの正の数があって、その2 つの積が一定であるとき、その2 つの数が等しいときに、その2つの数の和が最小となる」これを、「最小の定理」といいます。

「正の数 a と b があり、\displaystyle a+b=K\displaystyle Kは定数)のとき、 a=b のとき a+b は最小となる」 ことを証明すると、次のようになります。

正の数 a と b があり、\displaystyle a=bのとき、
\displaystyle a+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+2\sqrt{ab}
\displaystyle =(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+2\sqrt{K}

\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq0より、\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b})=0のとき、
つまり\displaystyle a=bのとき、
\displaystyle a=bは、最小値\displaystyle \sqrt{K}となります。

では、最小の定理を使った問題で確認してみましょう。

xを正の数とするとき、次のyの値が最小となるときのxの値はいくらか。

\displaystyle y=x+\frac{4}{x}

\displaystyle x\displaystyle \frac{4}{x}の積は、\displaystyle x\times\frac{4}{x}=4より、一定となります。

よって、最小の定理を適用することができます。
\displaystyle x=\frac{4}{x}より、\displaystyle x=2
\displaystyle x=2\displaystyle y=x+\frac{4}{x}に代入すると\displaystyle y=4となります。

最小の定理は、理論の最大電力を求めるときなどに使われますので、自分の力で使えるようになりましょう。

=独学が不安なら、資料請求はコチラ=

カテゴリー:
資料請求【無料】
【無料】メルマガ登録