公式が使えない因数分解の方法がわからない

投稿日: 2016年6月9日作成者: SEA

【質問】
公式が使えない因数分解の方法がわかりません。

展開された式をまとめていくのに必要な因数分解ですが、因数分解と聞くと、ついつい公式を使った因数分解を思い出してしまうのではないでしょうか。

$\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = \left( x+a \right)^2$ などの公式を使って因数分解をする場合にも言えることですが、因数分解は、まず共通因数でくくりだすことが基本です。

$\displaystyle 4a^2 + 2a = 2a \left( 2a+1 \right)$
このように、 $\displaystyle 4a^2 + 2a$ の場合、共通因数が $\displaystyle 2a$ になります。

この共通因数でくくりだすということは、電験三種では必要不可欠です。
次の式を共通因数でくくりだすことができるかどうか、確認してみましょう。

【例題】
（1） $\displaystyle 3R_1 + \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
（2） $\displaystyle \frac{3}{4}m^2 + \frac{1}{4}m$
（3） $\displaystyle \left( x+2y \right) \left( y-1 \right) +2 \left( x+2y \right)$

【解き方】
（1）
共通因数は $\displaystyle R_1$ です。
$\displaystyle 3R_1 + \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=R_1 \times 3 + R_1 \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = R_1 \left( 3 + \frac{R_2}{R_1+R_2} \right)$

（2）
共通因数は $\displaystyle \frac{1}{4}m$ です。
$\displaystyle \frac{3}{4}m^2 + \frac{1}{4}m = \frac{1}{4}m\times 3m + \frac{1}{4}m \times 1 = \frac{1}{4}m \left(3m+1 \right)$

いきなり $\displaystyle \frac{1}{4}m$ でくくりだすのが難しければ、気づいたものからくくりだしていきましょう。
まず $\displaystyle m$ でくくりだすと、
$\displaystyle \frac{3}{4}m^2 + \frac{1}{4}m = m \left( \frac{3}{4}m + \frac{1}{4} \right)$
ここからさらに $\displaystyle \frac{1}{4}$ でくくりだします。
$\displaystyle \frac{3}{4}m^2 + \frac{1}{4}m = m \left( \frac{3}{4}m + \frac{1}{4} \right) \\ = m \left( \frac{1}{4} \times 3m + \frac{1}{4} \times 1 \right) = m \times \frac{1}{4} \left( 3m+1 \right) = \frac{1}{4}m \left( 3m+1 \right)$

（3）
共通因数を $\displaystyle \left( x+2y \right)$ としてくくりだします。
式の形であっても、全ての項に存在すれば共通因数として考えることができます。
$\displaystyle \left( x+2y \right) \left( y-1 \right) +2 \left( x+2y \right) = \left( x+2y \right) \{ \left( y-1 \right) +2 \} \\ = \left( x+2y \right) \left( y-1+2 \right) = \left( x+2y \right) \left(y+1 \right)$

式を簡単化するときに共通因数でくくるということは頻繁に使います。
練習を重ねて慣れておくようにしましょう。

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